We characterize the power of constant-depth Boolean circuits in generating uniform symmetric distributions. Let $f\colon\{0,1\}^m\to\{0,1\}^n$ be a Boolean function where each output bit of $f$ depends only on $O(1)$ input bits. Assume the output distribution of $f$ on uniform input bits is close to a uniform distribution $D$ with a symmetric support. We show that $D$ is essentially one of the following six possibilities: (1) point distribution on $0^n$, (2) point distribution on $1^n$, (3) uniform over $\{0^n,1^n\}$, (4) uniform over strings with even Hamming weights, (5) uniform over strings with odd Hamming weights, and (6) uniform over all strings. This confirms a conjecture of Filmus, Leigh, Riazanov, and Sokolov (RANDOM 2023).

翻译：我们刻画了常数深度布尔电路在生成均匀对称分布方面的能力。令 $f\colon\{0,1\}^m\to\{0,1\}^n$ 为一个布尔函数，其中 $f$ 的每个输出比特仅依赖于 $O(1)$ 个输入比特。假设 $f$ 在均匀输入比特上的输出分布接近于一个具有对称支撑集的均匀分布 $D$。我们证明 $D$ 本质上只能是以下六种可能性之一：(1) 在 $0^n$ 上的点分布，(2) 在 $1^n$ 上的点分布，(3) 在 $\{0^n,1^n\}$ 上的均匀分布，(4) 在具有偶数汉明权重的字符串上的均匀分布，(5) 在具有奇数汉明权重的字符串上的均匀分布，以及 (6) 在所有字符串上的均匀分布。这证实了 Filmus、Leigh、Riazanov 和 Sokolov (RANDOM 2023) 的一个猜想。