$\mathsf{QMA}_1$ is $\mathsf{QMA}$ with perfect completeness, i.e., the prover must accept with a probability of exactly $1$ in the YES-case. Whether $\mathsf{QMA}_1$ and $\mathsf{QMA}$ are equal is still a major open problem. It is not even known whether $\mathsf{QMA}_1$ has a universal gateset; Solovay-Kitaev does not apply due to perfect completeness. Hence, we do not generally know whether $\mathsf{QMA}_1^G=\mathsf{QMA}_1^{G'}$ (superscript denoting gateset), given two universal gatesets $G,G'$. In this paper, we make progress towards the gateset question by proving that for all $k\in\mathbb N$, the gateset $G_{2^k}$ (Amy et al., RC 2024) is universal for all gatesets in the cyclotomic field $\mathbb{Q}(\zeta_{2^k}),\zeta_{2^k}=e^{2\pi i/2^k}$, i.e. $\mathsf{QMA}_1^G\subseteq\mathsf{QMA}_1^{G_{2^k}}$ for all gatesets $G$ in $\mathbb{Q}(\zeta_{2^k})$. For $\mathsf{BQP}_1$, we can even show that $G_2$ suffices for all $2^k$-th cyclotomic fields. We exhibit complete problems for all $\mathsf{QMA}_1^{G_{2^k}}$: Quantum $l$-SAT in $\mathbb{Q}(\zeta_{2^k})$ is complete for $\mathsf{QMA}_1^{G_{2^k}}$ for all $l\ge4$, and $l=3$ if $k\ge3$, where quantum $l$-SAT is the problem of deciding whether a set of $l$-local Hamiltonians has a common ground state. Additionally, we give the first $\mathsf{QMA}_1$-complete $2$-local Hamiltonian problem: It is $\mathsf{QMA}_1^{G_{2^k}}$-complete (for $k\ge3$) to decide whether a given $2$-local Hamiltonian $H$ in $\mathbb{Q}(\zeta_{2^k})$ has a nonempty nullspace. Our techniques also extend to sparse Hamiltonians, and so we can prove the first $\mathsf{QMA}_1(2)$-complete (i.e. $\mathsf{QMA}_1$ with two unentangled provers) Hamiltonian problem. Finally, we prove that the Gapped Clique Homology problem defined by King and Kohler (FOCS 2024) is $\mathsf{QMA}_1^{G_2}$-complete, and the Clique Homology problem without promise gap is PSPACE-complete.

翻译：$\mathsf{QMA}_1$ 是具有完美完备性的 $\mathsf{QMA}$，即在 YES 情况下，证明者必须以恰好为 $1$ 的概率接受。$\mathsf{QMA}_1$ 与 $\mathsf{QMA}$ 是否相等仍然是一个主要的开放性问题。我们甚至不知道 $\mathsf{QMA}_1$ 是否拥有一个通用门集；由于完美完备性的要求，Solovay-Kitaev 定理并不适用。因此，给定两个通用门集 $G, G'$，我们通常并不知道是否 $\mathsf{QMA}_1^G=\mathsf{QMA}_1^{G'}$（上标表示门集）。在本文中，我们通过证明对于所有 $k\in\mathbb N$，门集 $G_{2^k}$（Amy 等人，RC 2024）对于分圆域 $\mathbb{Q}(\zeta_{2^k}),\zeta_{2^k}=e^{2\pi i/2^k}$ 中的所有门集是通用的，从而在门集问题上取得了进展。也就是说，对于 $\mathbb{Q}(\zeta_{2^k})$ 中的所有门集 $G$，有 $\mathsf{QMA}_1^G\subseteq\mathsf{QMA}_1^{G_{2^k}}$。对于 $\mathsf{BQP}_1$，我们甚至可以证明 $G_2$ 对于所有 $2^k$ 次分圆域是足够的。我们展示了所有 $\mathsf{QMA}_1^{G_{2^k}}$ 的完全问题：对于所有 $l\ge4$，以及当 $k\ge3$ 时的 $l=3$，$\mathbb{Q}(\zeta_{2^k})$ 中的量子 $l$-SAT 对于 $\mathsf{QMA}_1^{G_{2^k}}$ 是完全的，其中量子 $l$-SAT 是判定一组 $l$-局部哈密顿量是否具有共同基态的问题。此外，我们给出了第一个 $\mathsf{QMA}_1$-完全的 $2$-局部哈密顿量问题：判定 $\mathbb{Q}(\zeta_{2^k})$ 中给定的 $2$-局部哈密顿量 $H$ 是否具有非平凡零空间，对于 $\mathsf{QMA}_1^{G_{2^k}}$（当 $k\ge3$ 时）是完全的。我们的技术也扩展到了稀疏哈密顿量，因此我们可以证明第一个 $\mathsf{QMA}_1(2)$-完全的（即具有两个非纠缠证明者的 $\mathsf{QMA}_1$）哈密顿量问题。最后，我们证明了由 King 和 Kohler（FOCS 2024）定义的带间隙团同调问题对于 $\mathsf{QMA}_1^{G_2}$ 是完全的，而无承诺间隙的团同调问题是 PSPACE-完全的。