Let $X$ be a projective nested product of fields and let $δ_X(d)$ be the minimum distance in degree $d\geq 1$ of the projective nested Cartesian code $C_X(d)$. The regularity index ${\rm reg}(δ_X)$ of the minimum distance function $δ_X$ is the minimum integer $d_0\geq 0$ such that $δ_X(d)=1$ for $d\geq d_0$. We give a formula for ${\rm reg}(δ_X)$ by determining an indicator function of least degree for each point of $X$ and using the fact that ${\rm reg}(δ_X)$ is the ${\rm v}$-number of the vanishing ideal $I_X$ of $X$. Then we give an arithmetical criterion that characterizes when $X$ is Cayley--Bacharach.

翻译：设 $X$ 为域的射影嵌套积，并令 $δ_X(d)$ 为射影嵌套笛卡尔码 $C_X(d)$ 在次数 $d\geq 1$ 下的最小距离。最小距离函数 $δ_X$ 的正则指标 ${\rm reg}(δ_X)$ 是使得对于所有 $d\geq d_0$ 均有 $δ_X(d)=1$ 的最小整数 $d_0\geq 0$。我们通过确定 $X$ 中每个点的最低次指示函数，并利用 ${\rm reg}(δ_X)$ 等于 $X$ 的消去理想 $I_X$ 的 ${\rm v}$-数这一事实，给出了 ${\rm reg}(δ_X)$ 的公式。随后，我们给出了刻画 $X$ 何时为 Cayley--Bacharach 性质的算术判别准则。