In this paper, we investigate a novel Budgeted $k$-Submodular Maximization problem defined as follows: Given a finite set $V$, a budget $B$ and a $k$-submodular function $f: (k+1)^V \mapsto \mathbb{R}$, the problem asks to find a solution $\mathbf{s}=(S_1, S_2, \ldots, S_k)$, each element $e \in V$ has a cost $c_i(e)$ to be put into $i$-th set $S_i$, with the total cost of $\mathbf{s}$ does not exceed $B$ so that $f(\mathbf{s})$ is maximized. We propose several streaming algorithms that provide approximation guarantees for the problem. In particular, in the case of each element $e$ has the same cost for all $i$-th sets, we propose a deterministic streaming algorithm which provides an approximation ratio of $\frac{1}{4}-\epsilon$ when $f$ is monotone and $\frac{1}{5}-\epsilon$ when $f$ is non-monotone. For the general case, we propose a random streaming algorithm that provides an approximation ratio of $\min\{\frac{\alpha}{2}, \frac{(1-\alpha)k}{(1+\beta)k-\beta} \}-\epsilon$ when $f$ is monotone and $\min\{\frac{\alpha}{2}, \frac{(1-\alpha)k}{(1+2\beta)k-2\beta} \}-\epsilon$ when $f$ is non-monotone in expectation, where $\beta=\max_{e\in V, i , j \in [k], i\neq j} \frac{c_i(e)}{c_j(e)}$ and $\epsilon, \alpha$ are fixed inputs.

翻译：在本文中,我们调查了一个新颖的预算(k) 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元 立方美元