A proper circular-arc (PCA) model is a pair $M = (C, A)$ where $C$ is a circle and $A$ is a family of inclusion-free arcs on $C$ whose extremes are pairwise different. The model $M$ represents a digraph $D$ that has one vertex $v(a)$ for each $a \in A$ and one edge $v(a) \to v(b)$ for each pair of arcs $a,b \in A(M)$ such that the beginning point of $b$ belongs to $a$. For $k \geq 0$, the $k$-th power $D^k$ of $D$ has the same vertices as $D$ and $v(a) \to v(b)$ is an edge of $D^k$ when $a\neq b$ and the distance from $v(a)$ to $v(b)$ in $D$ is at most $k$. A unit circular-arc (UCA) model is a PCA model $U = (C,A)$ in which all the arcs have the same length $\ell+1$. If $\ell$, the length $c$ of $C$, and the extremes of the arcs of $A$ are integer, then $U$ is a $(c,\ell)$-CA model. For $i \geq 0$, the model $i \times U$ of $U$ is obtained by replacing each arc $(s,s+\ell+1)$ with the arc $(s,s+i\ell+1)$. If $U$ represents a digraph $D$, then $U$ is $k$-multiplicative when $i \times U$ represents $D^i$ for every $0 \leq i \leq k$. In this article we design a linear time algorithm to decide if a PCA model $M$ is equivalent to a $k$-multiplicative UCA model when $k$ is given as input. The algorithm either outputs a $k$-multiplicative UCA model $U$ equivalent to $M$ or a negative certificate that can be authenticated in linear time. Our main technical tool is a new characterization of those PCA models that are equivalent to $k$-multiplicative UCA models. For $k=1$, this characterization yields a new algorithm for the classical representation problem that is simpler than the previously known algorithms.

翻译：一个真圆形弧（PCA）模型是一个对 $M = (C, A)$，其中 $C$ 是一个圆，$A$ 是 $C$ 上的一族互不包含的弧，且这些弧的端点两两不同。模型 $M$ 表示一个有向图 $D$，该图对每个 $a \in A$ 有一个顶点 $v(a)$，并对每对弧 $a,b \in A(M)$ 有一条边 $v(a) \to v(b)$，当且仅当 $b$ 的起点属于 $a$。对于 $k \geq 0$，$D$ 的 $k$ 次幂 $D^k$ 具有与 $D$ 相同的顶点，且当 $a\neq b$ 且 $D$ 中从 $v(a)$ 到 $v(b)$ 的距离至多为 $k$ 时，$v(a) \to v(b)$ 是 $D^k$ 的一条边。一个单位弧形（UCA）模型是一个 PCA 模型 $U = (C,A)$，其中所有弧具有相同的长度 $\ell+1$。如果 $\ell$、$C$ 的长度 $c$ 以及 $A$ 中弧的端点均为整数，则 $U$ 是一个 $(c,\ell)$-CA 模型。对于 $i \geq 0$，$U$ 的模型 $i \times U$ 通过将每条弧 $(s,s+\ell+1)$ 替换为弧 $(s,s+i\ell+1)$ 得到。如果 $U$ 表示有向图 $D$，则当对于每个 $0 \leq i \leq k$，$i \times U$ 表示 $D^i$ 时，$U$ 是 $k$ 乘性的。在本文中，我们设计了一个线性时间算法，用于判断给定输入 $k$ 时，一个 PCA 模型 $M$ 是否等价于一个 $k$ 乘性 UCA 模型。该算法要么输出一个与 $M$ 等价的 $k$ 乘性 UCA 模型 $U$，要么输出一个可在线性时间内验证的否定证书。我们的主要技术工具是对那些等价于 $k$ 乘性 UCA 模型的 PCA 模型的一个新刻画。对于 $k=1$，该刻画为经典表示问题提供了一种比先前已知算法更简单的新算法。