We consider two-variable first-order logic $\text{FO}^2$ and its quantifier alternation hierarchies over both finite and infinite words. Our main results are forbidden patterns for deterministic automata (finite words) and for Carton-Michel automata (infinite words). In order to give concise patterns, we allow the use of subwords on paths in finite graphs. This concept is formalized as subword patterns. Deciding the presence or absence of such a pattern in a given automaton is in $\mathbf{NL}$. In particular, this leads to $\mathbf{NL}$ algorithms for deciding the levels of the $\text{FO}^2$ quantifier alternation hierarchies. This applies to both full and half levels, each over finite and infinite words. Moreover, we show that these problems are $\mathbf{NL}$-hard and, hence, $\mathbf{NL}$-complete.

翻译：我们考虑的是两个可变的第一阶逻辑 $\ text{ Fo ⁇ 2$ 及其量化的交替等级, 包括限制和无限的单词。 我们的主要结果就是对确定性自动式( 限定单词) 和 Carton- Michel 自动化单词( 无限单词) 的禁止模式 。 为了给出简明模式, 我们允许在限制图形的路径上使用子词 。 这个概念以子词模式形式正式化 。 决定是否在特定自定义单词中存在这种模式 。 确定在某个自定义单词中存在 $\ mathbf{ NL} $ 。 特别是, 这导致为决定 $\ mathbf{ NL} 的 运算法, 用于决定 $\ text{ Fo ⁇ 2$ 。 这适用于整级和半级, 每个超限和无限单词。 此外, 我们显示这些问题是 $\ mathb{ NL} 硬值, 因此, $\\ mathb{ NL} - 完成 。